🔧

Failed to load site

We apologize for the temporary inconvenience. Please try to reload the page.
You can always check the current server status in the Telegram community chat.

Reload page

503

1. Разложение функций в ряды Тэйлора и Маклорена

Еще одна распространенная математическая задача - разложение заданной аналитической функции в степенной ряд Тэйлора относительно некоторой точки с абсциссой x_o (при x_o=0 он становится рядом Маклорена). Такой ряд зачастую проще самой функции, он дает единообразное представление для разлагаемых в него функций в виде обычного степенного многочлена. Большинство достаточно гладких функций, не имеющих разрывов в области разложения, довольно точно воспроизводятся рядом Тэйлора.

Для разложения в ряд используется следующая команда системы Mathematica:
Series [ f, { x ,x_o, n} ] - выполняет разложение в степенной ряд функции f в окрестности точки x=x_o по степеням (x-x_o)ⁿ.

Представление функции степенным рядом всегда содержит некоторую остаточную погрешность. В соответствии с принятой математической символикой она обозначается как O(x)ⁿ с показателем степени n, указывающим на порядок погрешности. Погрешность возрастает с ростом отклонения от узловой точки. На рис.2 представлены графики экспоненты, построенные по аналитическому выражению и по разложению в ряд Тэйлора. Хорошо заметно расхождение за пределами области, примыкающей к опорной точке функции.

2. Удаление члена с остаточной погрешностью ряда

В некоторых случаях вывод члена с остаточной погрешностью ряда нежелателен, например, если разложение в ряд используется для последующих операций, таких как построение по ряду приближенного графика функции. На рис.3 показан способ выделения требуемого числа членов ряда.

Задание: Разложите данные ниже функции в степенные ряды по степеням x:
y=Ln ( x + √(1 + x²) )
y=arcsin x
y=(1+x) arctg x