pис. 1
Лабораторная работа №10
Аналитическая геометрия в пространстве
Цель:
Для построения трехмерных поверхностей используется функция:
Plot3D [ f, { x ,xmin, xmax} , {y , ymin, ymax} ]
Чтобы построить график поверхности второго порядка, нужно сначала выразить переменную z из канонического уравнения, например, с помощью функции Solve, которая используется для решения уравнений, указав в качестве переменной только переменную z.
Например, выразим из уравнения эллипсоида x2+y2+z2=1 переменную z:
Solve [ x2 + y2 + z2 = 1, z ]
Получим: { z -> -√(-1-x2-y2), z -> √(-1-x2-y2) }
Это значит, что построение эллипсоида сводится к построению двух поверхностей в одной системе координат:
z = -√(-1-x2-y2) и z = √(-1-x2-y2).
Так как графики нужно построить в одной системе координат, то воспользуемся функцией Show [ z1, z2 ]. При построении графиков с целью улучшения качества графиков используем опцию PlotPoints -> n, которая указывает, сколько точек должно участвовать в построении ( n - натуральное число ). Опция Mesh -> False удаляет линии каркаса поверхности, что способствует большей наглядности в её отображении.
1. Эллипсоид
Каноническое уравнение: x2 / a2 + y2 / b2 + z2 / c2 = 1.
На рисунке 1 показано построение эллипсоида, заданного уравнением x2 + y2 + z2 = 1.
Задание: Измениет параметры a, b, c и установите, как их увеличение или уменьшение влияет на изображение поверхности.
2. Однополостный гиперболоид
Каноническое уравнение: x2 / a2 + y2 / b2 - z2 / c2 = 1.
На рисунке 2 показано построение однополостного гиперболоида, заданного уравнением x2 / 4 + y2 / 1 - z2 / 4 = 1.
3. Двуполостный гиперболоид
Каноническое уравнение: x2 / a2 - y2 / b2 - z2 / c2 = 1.
На рисунке 3 показано построение двуполостного гиперболоида, заданного уравнением x2 / 4 - y2 / 9 - z2 / 1 = 1.
4. Гиперболический параболоид
Каноническое уравнение: z = x2 / a2 - y2 / b2.
На рисунке 4 показано построение гиперболического параболоида, заданного уравнением z = x2 - y2.
Задание: Постройте эллиптический параболоид. Каноническое уравнение z = x2 / a2 + y2 / b2.
